Ecco perché è MATEMATICAMENTE IMPOSSIBILE accordare un piano

[Marco Muttinelli]

PARTE IV

La scala naturale
scala diatonica di giusta intonazione o zarliniana
I suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale emesso da una canna possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi: il fondamentale ha frequenza 1, il secondo armonico ha frequenza doppia, il terzo tripla e così via.

Il secondo armonico (rapporto 2:1) forma l’intervallo di ottava, così chiamato perché segue alle sette note che formano la scala nella musica occidentale.

Dimezziamo la frequenza del terzo armonico (rapporto 3:1) per ottenere un suono vicino al fondamentale, entro l’ambito dell’ottava: la quinta giusta 3:2. Il quarto armonico (rapporto 4:1) si riduce con lo stesso procedimento ottenendo l’ottava: 4/2=2:1. Il quinto armonico (rapporto 5:1) sarà dimezzato per due volte, così da rientrare nell’ambito dell’ottava come terza maggiore 5:4.

L’intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più “piacevole” all’ascolto quanto più è “semplice” il rapporto fra le frequenze dei suoni.

Iniziando da Do, questo procedimento può generare le seguenti note: DO (2/1) – RE (9/8) – MI (5/4) – SOL (3/2) – SI (15/8). Mancano il FA e il LA.

Nella serie degli armonici compare al 21o posto un suono che riportato nell’ambito dell’ottava è riconoscibile come un FA calante (21/16) che non si usa. Similmente un La crescente compare al 27o posto, ma non si usa.

Nella serie compaiono i due accordi DO-MI-SOL e SOL-SI-RE: se avessimo FA e LA, la successione SOL-SI-DO-RE-MI potrebbe essere trasposta una quinta sotto divenendo DO-MI-FA-SOL-LA.

Quindi i suoni FA e LA sono ottenuti con una “trasposizione” del procedimento descritto, una sorta di modulazione dal sistema del suono d’origine DO al sistema di FA. Considerando il DO come terzo armonico di FA si ottiene per quest’ultimo il rapporto 4/3.
Il LA è terza maggiore (5/4) sopra il FA (4/3) cioè 5/4 × 4/3 = 5/3.

Questo schema ricorda la simile disposizione degli esacordi molle, naturale e duro della solmisazione, e tuttavia do-re-mi (tono grande – tono piccolo) equivale a fa-sol-la ma non a sol-la-si (tono piccolo – tono grande):

Fa - La - Do - Fa
Do - Mi - Sol - Do
Sol - Si - Re - Sol
Riassumendo quindi la teoria zarliniana, la gamma si costruisce suddividendo armonicamente prima l’intervallo di ottava e poi i due intervalli che se ne ottengono, cioè quinta e quarta:

2:1 DO-do
_____|______ _________|__________
| | | |
3:2 4:3 DO-SOL SOL-do
__|__ ____|_____ ___|___ _______|_______
| | | | | | | | | |
5:4 6:5 10:9 9:8 16:15 DO-MI MI-SOL SOL-LA LA-SI SI-do
La scala è così formata:

Herz Cents Rapporto Intervallo
C 264 0.00 1/1
} 9/8 203.91 tono grande
D 297 203.91 9/8 = 1.125
} 10/9 182.40 tono piccolo
E 330 386.31 5/4 = 1.25
} 16/15 111.74 semitono
F 352 498.05 4/3 = 1.333
} 9/8 203.90 tono grande
G 396 701.95 3/2 = 1.5
} 10/9 182.41 tono piccolo
A 440 884.36 5/3 = 1.666
} 9/8 203.91 tono grande
B 495 1088.27 15/8 = 1.875
} 16/15 111.73 semitono
C 528 1200.00 2/1
Gli intervalli contenuti nell’ottava della scala naturale di Do sono:

DO RE MI FA SOL LA SI do
DO 1:1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2:1
RE 10:9 32:27 4:3 40:27 5:3 16:9
MI 16:15 6:5 4:3 3:2 8:5
FA 9:8 5:4 45:32 3:2
SOL 10:9 5:4 4:3
LA 9:8 6:5
SI 16:15
Analizzando la scala diatonica “naturale” di Do notiamo che:

la terza maggiore 5:4 (386,3137 ¢) è fra le note Do-Mi, Fa-La, Sol-Si;
la terza minore 6:5 (315,641 ¢) tra Mi-Sol, La-Do, Si-Re;
la quinta giusta 3:2 (701,955 ¢) fra Do-Sol, Mi-Si, Fa-Do, Sol-Re, La-Mi;
la quarta giusta 4:3 (498,045 ¢) fra Do-Fa, Re-Sol, Mi-La, Sol-Do, Si-Mi;
la quinta Re-La vale 10/9 × 16/15 × 9/8 × 10/9 = 40:27 pari a 680,4487 ¢: è molto stretta e non è tollerata dall’orecchio;
la terza minore Re-Fa (32/27 = 1.185) è stretta e vale 294 ¢;
la quarta eccedente Fa-Si (45:32) o tritono diatonico è il noto diabolus in musica e vale 590 ¢;
esistono due tipi di tono (e di conseguenza anche due tipi di settime minori): grande (9:8) fra Do-Re, Fa-Sol, La-Si, pari a 204 ¢ e piccolo (10:9) fra Re-Mi e Sol-La pari a 182 ¢;
il semitono diatonico vale 16:15 fra Mi-Fa e Si-do, pari a 112 ¢.
La scala naturale è ottenuta sulla base dei cosiddetti “rapporti semplici”, ossia gli intervalli che producono il maggior effetto di consonanza. Questi intervalli favoriscono la sovrapposizione degli ipertoni (o armoniche), dando così alti indici di consonanza. Ad esempio nella terza maggiore pura Do-Mi si trovano sovrapposte la 5ª, 10ª, 15ª, 20ª… armonica del Do con la 4ª, 8ª, 12ª, 18ª… del Mi. Dato un rapporto di frequenze m/n l’indice di consonanza si calcola così: E = (m+n)/m·n. Più l’indice è alto, più elevato è il grado di consonanza. Nella terza maggiore pura (5:4) l’indice vale (5+4)/(5×4)=9/20=0,45. Nella scala naturale abbiamo i seguenti intervalli, in ordine di consonanza:

Rapporto Indice
di frequenze di consonanza
Unisono C-C 1:1 2/1 = 2.00
Ottava C-C' 2:1 3/2 = 1.50
Quinta perfetta C-G 3:2 5/6 = 0.83
Quarta perfetta C-F 4:3 7/12 = 0.58
Sesta maggiore C-A 5:3 8/15 = 0.53
Terza maggiore C-E 5:4 9/20 = 0.45
Terza minore E-G 6:5 11/30 = 0.37
Sesta minore A-F' 8:5 13/40 = 0.32
Settima minore E-D' 9:5 14/45 = 0.31
Tono grande C-D 9:8 17/72 = 0.24
Tono piccolo D-E 10:9 19/90 = 0.21
Settima maggiore C-B 15:8 23/120 = 0.19
Settima minore grave D-C' 16:9 25/144 = 0.17
Semitono E-F 16:15 31/240 = 0.13
Problema cruciale è l’impossibilità di far coesistere due degli intevalli fondamentali: nella scala diatonica naturale di Do se si accorda pura la terza minore La-Do, come deve essere per il rapporto 6:5, la quinta Re-La non sarà mai pura, bensì risulterà stretta di un intervallo detto comma sintonico. L’ampiezza del comma si può calcolare sottraendo tale quinta stretta (40:27) dalla quinta pura (3:2), cioè

40/27 ÷ 3/2 = 80/81 (0,988) ossia 701.95 – 680.45 = 21.5 ¢.

L’uso della scala diatonica naturale è pressochè limitato alla monodia.

La scala cromatica di dodici note nel sistema naturale non è usata negli strumenti ad accordatura fissa: la presenza di due diversi tipi di tono (9:8 e 10:9) comporta l’impossibilità di modulazioni a tonalità differenti: per esempio, la quinta re-la in Do maggiore (II-VI grado) vale 40:27, e in Re maggiore (I-V grado) dovrebbe valere 3:2.

Nonostante i gravi inconvenienti illustrati, negli strumenti a tastiera l’ampliamento della scala con i suoni cromatici comporta l’introduzione dei cosiddetti tasti spezzati per rendere disponbibili sia i bemolli che i diesis. Ad esempio il Sol# è calcolato come terza maggiore di Mi, per rispettare il criterio della massima consonanza e vale 5/4 × 5/4 = 25:16. Il Lab però, calcolato con il medesimo criterio come sesta minore di Do, è molto più acuto del Sol#, e non ammette enarmonia, giacché vale 2 × 4/5 = 8:5. L’intervallo tra le due note è di 41 cent, noto come comma del lupo o comma enarmonico.

Dunque, se si accordano tre terze maggiori pure ascendenti o discendenti, non si ritorna alla nota iniziale: l’enarmonia è impossibile. Do-Mi, Mi-Sol#, Sol#-Si# oppure Si-Sol, Sol-Mib, Mib-Dob, non chiudono un giro di terze maggiori: esso procede all’infinito sia verso l’acuto che verso il grave. Il comma enarmonico è la differenza fra la somma di tre terze maggiori e l’ottava, ed è il più largo fra i tre commi:

5/4×5/4×5/4=125/64; 2÷125/64=128:125 (1,024)

è la differenza fra Do e Si# nel ciclo di terze maggiori.

[Marco Muttinelli]

PARTE V

Gli intervalli
Prima di addentrarmi nel complesso e variegato mondo dei sistemi di temperamento, credo sia utile passare in rassegna gli intervalli incontrati sino ad ora, derivati dalle due diverse suddivisioni dell’ottava: la scala pitagorica e quella naturale, nei due generi diatonico e cromatico.

La scala diatonica prevede sette gradi, e stabilisce fra essi precise relazioni melodiche e armoniche: nei moti fra i gradi si creano delle direzioni privilegiate o prevalenti e prendono forma quelle strutture che la teoria musicale ha classificato come modi e toni.

La scala cromatica è in parte nata dalla necessità di trasporre le melodie diatoniche (soprattutto per adattarne l’ambito all’estensione vocale) e in parte è l’esito dell’ampliamento o trasformazione del sistema modale e tonale per esigenze espressive (introduzione della sensibile, e dei gradi alterati).

Nel corso dei secoli la tastiera di organo e clavicembalo si è normalmente suddivisa in ottave di dodici note, con sette tasti diatonici e cinque cromatici: ciò ha comportato una forzatura nel ciclo delle quinte, perché per chiuderlo una di esse deve essere stretta di un intero comma pitagorico.
Quattro quinte pure in successione generano una terza maggiore pitagorica più larga di un comma sintonico rispetto all’intervallo naturale. Nel calcolo seguente la terza pitagorica è rappresentata perciò come somma di terza maggiore pura + comma sintonico, ossia 386.3 + 21.5 = 407.8 ¢. Proseguendo nel circolo, dopo due terze maggiori pitagoriche, ossia otto quinte pure generate in successione, la terza maggiore che manca alla chiusura deve essere stretta di uno schisma (1.9 ¢). Da questa osservazione scaturisce pure che il comma enarmonico vale due commi sintonici meno lo schisma (21.45 + 21.45 – 1.9 = 41 ¢).

(386.3 + 21.5) + (386.3 + 21.5) + 386.3 - 1.9 = 1200 ¢
L’enarmonia non fu possibile sino all’introduzione dei sistemi di temperamento circolanti. In casi sporadici, tastiere con più tasti cromatici o addirittura con più ordini di tasti erano richieste da specialisti, mossi dall’esigenza di usare tonalità altrimenti non disponibili.

Nel sistema pitagorico cromatico i diesis sono più acuti dei bemolli (C# è sopra Db, E# sopra F, ecc.), mentre nel sistema naturale accade esattamente l’opposto, ossia i diesis sono più gravi dei bemolli.

Nel sistema pitagorico cromatico i semitoni sono di due tipi: diatonico o limma, largo 90 ¢ (256:243) e cromatico o apotome, largo 114 ¢ (2187:2048). Inoltre, come si è già detto, in corrispondenza della quinta stretta, si generano anche due toni larghi 180.45 ¢ e quattro terze maggiori quasi pure.

Anche la scala naturale cromatica, non praticata negli strumenti ad accordatura fissa, possiede intervalli di semitono diversi fra loro: 41 62.5 70.7 111.7 ¢. Infatti nel sistema naturale quando si amplia la scala all’ordine completo dei diesis e dei bemolli applicando il criterio delle migliori consonanze, si ottiene un’ottava composta da 17 note: sette tasti diatonici e dieci cromatici spezzati in cinque diesis e cinque bemolli (si omettono Mi#, Fab, Si#, Dob).

Si formano così due distinte successioni dei semitoni che suddividono ciascun tono:

tono grande (9:8 o 203.9 ¢):
70.7 – 62.5 – 70.7 ¢
per esempio il tono Do-Re è diviso in Do_Do# = 70.7, Do#_Reb = 62.5, Reb_Re 70.7
tono piccolo (10:9 o 182.4 ¢)
70.7 – 41 – 70.7 ¢
per esempio il tono Re-Mi è diviso in Re_Re# = 70.7, Re#_Mib = 41, Mib_Mi = 70.7
Inoltre sono presenti altri intervalli di seconda, che esulano dallo schema descritto. Con Scala si può condurre lo studio teorico su una versione della scala naturale con 12 note o 17 note.

La principale conseguenza di queste ineguaglianze in entrambi i sistemi si avverte nel diverso carattere che assume una linea melodica o una concatenazione accordale a seguito di una trasposizione.

In questa tabella è mostrata la composizione teorica delle due scale cromatiche pitagorica e naturale (le misure in cent sono arrotondate all’unità).

Scala Scala
Nota pitagorica naturale
Rapporto Cent Rapporto Cent
C 1.000 0 1.000 0
C# 1.068 114 1.042 71
Db 1.054 90 1.080 133
D 1.125 204 1.125 204
D# 1.201 318 1.172 275
Eb 1.185 294 1.200 316
E 1.266 408 1.250 386
Fb 1.249 384 1.280 427
E# 1.352 522 1.302 457
F 1.333 498 1.333 498
F# 1.424 612 1.389 569
Gb 1.405 588 1.440 631
G 1.500 702 1.500 702
G# 1.602 816 1.563 773
Ab 1.580 792 1.600 814
A 1.687 906 1.667 884
A# 1.802 1020 1.736 955
Bb 1.778 996 1.800 1018
B 1.898 1110 1.875 1088
Cb 1.873 1086 1.920 1129
B# 2.027 1224 1.953 1159
C 2.000 1200 2.000 1200

[Marco Muttinelli]

PARTE VI

Il temperamento
L’accordatura per quinte pure (scala pitagorica) e quella di giusta intonazione costruita seguendo il criterio della maggiore consonanza (scala naturale, o tolemaica, oppure zarliniana) sono i più antichi sistemi di suddivisione dell’ottava, dapprima secondo il genere diatonico e quindi secondo quello cromatico. Ciascuno di essi presenta peculiarità rilevanti nell’esecuzione del repertorio monodico e polifonico dal Medioevo sino al Quattrocento.

Alcune dispute fra filosofi e le prese di posizione della Chiesa nei confronti della musica sacra potevano frenare la ricerca ma, occupandosi prevalentemente di aspetti teorici, non incidevano drasticamente nella cosiddetta musica pratica. Maestri di cappella e musicisti dovevano cercare la migliore soluzione ai problemi di trasposizione e modulazione, soprattutto dall’epoca in cui la musica polifonica cominciò a coinvolgere massicciamente anche gli strumenti, in particolare quelli ad intonazione fissa.

Le resistenze avevano una solida ragion d’essere, giacché si trattava di compromettere la perfezione degli intervalli che fondano il sistema modale (unisono, ottava, quarta e quinta). Tuttavia nella polifonia si erano già manifestate numerose istanze a favore del riconoscimento della terza maggiore pura come consonanza (ad esempio nelle clausole contenenti la sensibile posta a distanza di semitono inferiore dalla finalis oppure la terza piccarda nelle cadenze più rilevanti).

Trattandosi di un campo di ricerca con valenza non solo teorica ma anche pratica, i nuovi sistemi cromatici prevedevano l’ampliamento della scala con l’ordine dei diesis e dei bemolli più o meno completo: ciò comportava negli strumenti a intonazione fissa la spezzatura dei tasti neri o addirittura la creazione di nuove tastiere.

L’aspetto pratico quotidiano dell’accordatura dei dodici semitoni nella stragrande maggioranza delle tastiere però si risolveva con la ripartizione del comma pitagorico oppure di quello sintonico (trascurato o meno lo schisma). Il modello teorico, la scala pitagorica o quella naturale, forniscono la base. Introducendo opportuni aggiustamenti poi, si frammenta e distribuisce il comma tra alcune quinte.

Il meccanismo teorico di suddivisione del comma implica lunghi calcoli con le frazioni, mentre il metodo pratico di accordatura si basa sull’ascolto dei battimenti degli intervalli temperati e sulla purezza degli altri.

Se vogliamo una terza maggiore pura siamo costretti a stringere le quattro quinte che l’abbracciano, oppure solo alcune di esse, non tutte. Lo sforzo è quindi concentrato nell’accurata distribuzione dei battimenti. Le quattro quinte temperate sono disposte in due coppie distanti una quarta e quindi coprono un’estensione superiore all’ottava, ad esempio: Do1-Sol1, Re1-La1 e Sol1-Re2, La1-Mi2. Ciò significa che i battimenti della seconda coppia più acuta saranno un po’ più veloci rispetto a quelli della prima.

La suddivisione del comma sintonico in quattro parti uguali è quindi naturalmente connessa al fatto che sono quattro le quinte formanti la terza maggiore che si desidera pura.

Dopo le prime quattro quinte strette avremo già quasi assorbito il comma pitagorico (ne rimane una trascurabile frazione, lo schisma). Questo vuol dire che potremmo già chiudere il circolo senza temperare le rimanenti quinte. Se invece vogliamo che tutte le terze maggiori disponibili in una tastiera siano pure, sarà necessario stringere le rimanenti quinte, fermandosi però all’ultima che ovviamente non sarà modificabile perché i suoi estremi saranno già determinati.

In quest’ultimo intervallo si accumulano 7/4 di comma sintonico meno lo schisma. Si presenta come una sesta diminuita, per semplicità comunemente detta quinta del lupo.

Il moltiplicarsi dei sistemi fu inevitabile: ogni soluzione presenta peculiarità, pregi e difetti. Una volta che la terza maggiore pura è assunta come modello di consonanza, la terza pitagorica (ottenuta sovrapponendo quattro quinte pure come accade nella scala pitagorica, appunto) risulta fortemente dissonante. Inoltre, se delle quattro quinte una è larga, allora avremo due terze maggiori molto dissonanti (più della terza pitagorica).

Buona parte della riuscita di un sistema d’accordatura sta nella posizione in cui vengono confinati gli intervalli dissonanti nella tavolozza delle tonalità.

I sistemi regolari
prevedono la divisione del comma in parti uguali uniformemente distribuite fra le undici quinte temperabili: la dodicesima chiude il giro e risulta determinata in conseguenza.
I sistemi irregolari
non temperano le quinte in modo omogeneo, bensì secondo opportune scelte, al fine di privilegiare certe tonalità a discapito di altre
I sistemi ciclici
prevedono la possibilità di circolare fra tutte le tonalità disponibili, giacché il giro delle quinte si considera virtualmente chiuso per enarmonia
sistemi non ciclici
non ammettono l’enarmonia e quindi solo alcune tonalità sono praticabili
Si possono così elencare velocemente alcuni dei sistemi teorici e storici:

Il sistema equabile moderno è regolare e permette la circolazione fra dodici quinte poichè l’ottava è divisa in 12 parti uguali, e quindi il giro delle quinte si chiude temperando il comma pitagorico di 1/12 per ciascun passo;
il temperamento equabile con ciclo 19 chiude il giro delle quinte dopo 19 passi (ottava divisa in 19 semitoni, con Do = Si##), e presenta terze minori quasi pure;
l’equabile con ciclo 31 ha terze maggiori quasi pure e si chiude dopo 31 quinte scarse di quasi 1/4 di comma sintonico (Do = A## ##).
il tono medio a 1/4 di comma sintonico è regolare, ma non ciclico.
i vari sistemi di cui discuteremo ideati da Kirnberger, da Werkmeister e da Vallotti sono irregolari ma ammettono la circolazione fra tutte le tonalità.
Il temperamento mesotonico regolare prende il nome dal fatto che azzera la differenza fra tono grande e tono piccolo presente nella scala naturale: l’intervallo di tono divide esattamente a metà la terza maggiore. Le quinte sono temperate tutte della stessa frazione di comma sintonico. Il sistema non permette la circolazione:

il tono medio regolare riduce le quinte di 1/4 di comma sintonico, e presenta terze maggiori pure; è perciò analogo all’equabile con ciclo 31, limitato però a sole dodici quinte;
il mesotonico a 1/3 di comma ha terze minori pure;
il mesotonico a 2/7 di comma dà terze maggiori e minori ugualmente temperate.

[Marco Muttinelli]

PARTE VII

Tabelle e quadranti
Per illustrare i vari sistemi si useranno tabelle indicanti per ciascuna nota della scala cromatica il grado di temperamento delle quinte e delle terze maggiori, che viene sempre espresso in centesimi di comma sintonico (se viene temperato il comma pitagorico sarà specificato espressamente). Valori positivi indicano che la nota è crescente rispetto al valore “naturale” dell’intervallo puro, mentre valori negativi segnalano accordatura calante. Il valore 0 significa che l’intervallo è puro. Il valore 1 rappresenta l’intero comma sintonico. La tabella dà la corrispondenza fra il valore in centesimi di comma sintonico e la frazione corrispondente.

Frazione Valori decimali
0 (quinta pura) = 0
1/3 = 0,333
2/7 = 0,285
5/18 = 0,277
1/4 = 0,250
2/9 = 0,222
1/5 = 0,200
1/5 di comma = 0,220 di comma
pitagorico pitagorico
3/14 = 0,214
3/17 = 0,176
1/6 = 0,166
1/7 = 0,142
1/8 = 0,125
1/9 = 0,111
1/10 = 0,100
1/12 di comma = 0,091 di comma
pitagorico pitagorico
Un altro importante ausilio è la tabella dei battimenti, con cui si riesce a controllare il temperamento di terze maggiori e quinte. Servono però una certa esperienza e sensibilità.

Altro ausilio per illustrare la struttura di un temperamento è il quadrante del giro delle quinte con i valori indicanti il grado di purezza degli intervalli in frazioni di comma sintonico ed eventuali linee di collegamento per altri intervalli significativi.

Il programma open source Scala dispone di utili funzioni per generare le tabelle e i quadranti a partire dalla semplice scala. Inoltre è possibile disegnare grafici che mettono in risalto il grado di consonanza, la frequenza dei battimenti, la divergenza rispetto al sistema equabile. Da ultimo ma indispensabile strumento segnalo all’interno di Scala il MIDI TUNING per la conversione e riaccordatura di file MIDI.

[Marco Muttinelli]

PARTE VIII

Bibliografia
Questi sono alcuni testi che ritengo fondamentali per la teoria e la storia del temperamento: sono quasi tutti in italiano.

L. F. Tagliavini, Note introduttive alla storia del temperamento in Italia, in L’Organo, XVIII, Bologna, 1980, p. 3
M. Lindley, Temperaments, in The New Grove Dictionary, XVIII, London, 1980, ed. Macmillan, p.660
P. Barbieri, Persistenza dei temperamenti inequabili nell’Ottocento italiano, in L’Organo, XX, Bologna, 1982, p. 57
P. Barbieri, Accordatura e temperamento nell’Illuminismo veneto, Istituto di Paleografia Musicale di Roma, 1982, ed. Torre d’Orfeo
P. Barbieri, I temperamenti ciclici […], in L’Organo, XXI, Bologna, 1983, p. 129
P. Barbieri, L’espressione degli “affetti” mediante l’ineguale accordatura degli strumenti da tasto nel Settecento veneto, in Convegno di studi “Organaria veneta: patrimonio e salvaguardia”, Vicenza, 1987, p. 42
A. Frova, Fisica nella musica, Bologna, 1999, ed. Zanichelli.
In questi testi si trovano informazioni bibliografiche assai abbondanti.

FINE


Ricordo che l'articolo completo a firma di Nicola Ferroni e consultabile qui:
https://www.nicolaferroni.com/blog/2009 ... cordatura/

[Marco Muttinelli]

Ritornando al pianoforte un altro video analogo al primo che ha aperto l'argomento che illustra il problema sotto una angolazione leggermente diversa e semplifica quanto nel primo riportato.